Cuantificadores, cuantificadores Existenciales y Universales y como se representa cada uno

Cuantificadores: En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad.

Cuantificadores Existenciales: La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”.

Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal que…)”, “hay al menos un x tal que..." o "para algún x...".

Ejemplo:

Sea A= {1,2,3,4,5} Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes:

a) (∃ x ∈ A)(x+3=10)

sol: es falso porque ningún número de A es una solución de x+3=10.

b) (∀ x ∈ A)(x+3<10)

sol: es Verdadero. cualquier número de A cumple que x+3<10

Cuantificadores Universales: Indican que algo es cierto para todos los individuos.

Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.

Ejemplos:

• Todos los humanos respiran

(∀ x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa humanos, R respiran y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.

• Todos los alumnos son estudiosos

(∀ x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.

Representación de cada cuantificador

• Cuantificador Universal (∀)
• Cuantificador Existencial (∃)

Proposiciones Abiertas y Cerradas

Proposiciones Abiertas: Son aquellas en las que el(los) sujeto(s) es incógnito  Se caracterizan por ser verdaderas para algunos sujetos y falsa para otros.

Ejemplo:

Sea x un sujeto definido en un conjunto incógnito y considere las expresiones matemáticas definidas para x que pueden considerarse como proposiciones abiertas.

a. x+2=4

b. x²−5x+6 = 0

c. x²−9 = (x−3)(x+3)

d. x²= 9 y x−1 = 0

De las proposiciones anteriores se puede afirmar que 

a. x+2=4es verdadera para x= 2 y falsa para otros valores de x.

b. x²−5x+6=0es verdadera para x=2 o x=3, y falsa para otros valores de x.

c. x²−9=(x−3)(x+3) es verdadera para todo valor de x.

d. x²=9 y x−1 = 0 es falsa para todo valor de x.

Proposiciones Cerradas: Son aquellas en las que el(los) sujeto(s) está(n) completamente definido(s) en un conjunto de referencia.

Ejemplo:

Las proposiciones “La gallina tiene dos patas”“El tigre es un animal salvaje”“El gato toma leche” son cerradas ya que lo sujetos “La gallina”, “El tigre” y “El gato” están bien definidos en el conjunto de referencia los animales.

Proposiciones

En lógica y filosofía, el término proposición se usa para referirse a:

• Las entidades portadoras de los valores de verdad.
• Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales.
• El significado de las oraciones demostrativas, como «el Sol es una estrella».

Es un producto lógico del pensamiento que se expresa mediante el lenguaje, sea éste un lenguaje común, cuando adopta la forma de oración gramatical, o simbólico, cuando se expresa por medio de signos o símbolos.

En Lógica tradicional se distinguen la proposición y el juicio, por cuanto la primera es el producto lógico del acto por el cual se afirma o se niega algo de algo, mientras ese acto constituye el juicio.

Para Aristóteles, la proposición es un discurso enunciativo perfecto, que se expresa en un juicio que significa lo verdadero y lo falso como juicio de términos. Por eso el juicio es una afirmación categórica, es decir, incondicionada porque representa adecuadamente la realidad.

http://es.wikipedia.org/wiki/Proposici%C3%B3n